Halaman
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2STATISTIKAMATEMATIKA UMUM KELAS XIIPENYUSUNAsmar AchmadSMA Negeri 17 Makassar
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...................................................................................................................................................3GLOSARIUM..................................................................................................................................................5PETA KONSEP..............................................................................................................................................6PENDAHULUAN..........................................................................................................................................7A. Identitas Modul...........................................................................................................7B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................7C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................7D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................8E. Materi Pembelajaran...................................................................................................9KEGIATAN PEMBELAJARAN 1..........................................................................................................10PENYAJIAN DATA....................................................................................................................................10A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................10B.Uraian Materi............................................................................................................10C.Rangkuman...............................................................................................................18D.Latihan Soal..............................................................................................................19E.Penilaian Diri............................................................................................................25KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................26UKURAN PEMUSATAN DATA............................................................................................................26A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................26B.Uraian Materi............................................................................................................26C.Rangkuman...............................................................................................................35D.Latihan Soal..............................................................................................................36E.Penilaian Diri............................................................................................................42KEGIATAN PEMBELAJARAN 3..........................................................................................................43UKURAN PENYEBARAN DATA..........................................................................................................43A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................43B.Uraian Materi............................................................................................................43C.Rangkuman...............................................................................................................50D.Latihan Soal..............................................................................................................50E.Penilaian Diri............................................................................................................56EVALUASI....................................................................................................................................................57
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................63
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5GLOSARIUMHistogram:Diagram batang tegak, dimana di antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarakPoligon frekuensigrafik garis yangmenghubungkan setiap titik tengah sisi atas persegi panjang yang berdampingan pada histogram.Ogive:grafik distribusi frekuensi kumulatifMean:Rerata (Rataan, Rata-rata) hitungModus:Nilai yang paling sering munculMedian:Nilai tengahdari sekumpulan data terurutKuartil:Ukuran letak yang membagi data terurut menjadi empat bagian sama banyakDesil:Ukuran letak yang membagi data terurut menjadi sepuluhbagian sama banyak
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PETA KONSEPDATAPenyajian DataPemusatan DataPenyebaran DataTabel Distribusi FrekuensiRata-rata (Mean)Simpangan Rata-rataGrafikNilai Tengah (Median)Simpangan BakuModusRagamHistogramPoligon FrekuensiOgive(**)Kuartil dan Desil,
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika UmumKelas: XIIAlokasi Waktu: 12 JP (3 Kegiatan Pembelajaran, 4 JP per KP)Judul Modul: StatistikaB. Kompetensi Dasar3.2.Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.4.2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogramC. Deskripsi Singkat MateriStatistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (fisika, astronomi dan biologi), ilmu-ilmu sosial (sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis (ekonomi dan industri). Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan, misalnya sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal, seperti ditunjukkan pada diagram batang berikut.Gambar 1. Jumlah peduduk Indonesia 1945 –2015Sumber: BPSAplikasi statistika lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya dilakukan sebelum pemilihan umum), serta hitung cepat (perhitungan cepat hasil pemilu) atauquick count. Infografis berikut merupakan salah satu contoh aplikasi statistika dari hasil jajak pendapat terhadap rencana pembangunan PLTN 2016.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8Gambar 2. Hasil jajak pendapat pembangunan PLTN 2016Sumber: www.batan.go.idPada modul ini, kita akan membahas materi materi statistika yang terdiri atas : (1) Penyajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan grafik, (2) Ukuran pemusatan data, dan (3) Ukuran penyebaran data. D. Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi kalian dalam melakukan kegiatan belajar secara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.4.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan kalian dengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan kalian terhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar kalian dapat mengukur penguasaan kalian terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan kalian dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan kalian untuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9E. Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 3kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Penyajian DataKedua : Ukuran Pemusatan DataKetiga: Ukuran Penyebaran Data
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10KEGIATAN PEMBELAJARAN 1PENYAJIAN DATAA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan kalian dapat menyajikan data dengan menggunakan berbagai diagram, tabel distribusi frekuensi, dan histogram serta dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah terkait statistika.B.Uraian MateriKetika seseorang peneliti ingin mengetahui kondisi suatu hal tidak jarang peneliti harus mengumpulkan data terlebih dahulu. Sebagai contoh, seorang peneliti ingin mengetahui kondisi jumlah penduduk Indonesia selama 20 tahun sebelumnya. Dengan demikian peneliti dapat mengumpulkan data jumlah penduduk Indonesia setiap tahunnya kemudian dapat mendiskripsikan, mendapatkan informasi yang berguna mengenai jumlah penduduk, dan bahkan dapat memprediksi keadaan jumlah penduduk Indonesia di tahun-tahun mendatang.Penyajian data yang baik dan benar tentunya sangat bermanfaat untuk memberi gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, data lebih cepat dimengerti, memudahkan dalam membuat analisis data, dan pengambilan keputusan atau kesimpulan lebih tepat, cepat, dan akurat.Di SMP, tentunya kalian telah mempelajari beberapa bentuk penyajian data dalam bentuk diagram, seperti diagram garis, diagram batang, diagram lingkaran, dan lainnya. 1.Diagram GarisDiagram garis digunakan untuk menyajikan perkembangan data statistik yang kontinu (berkesinambungan), misalnya jumlah penduduk tiap tahun di suatu wilayah, keadaan suhu badan pasien RStiap jam, omset penjualan barang di suatu toko. Pada diagram garis, sumbu X (horizontal) biasanya menyatakan satuan waktu, sedangkan sumbu Y (vertikal) biasanya menyatakan frekuensi.Contoh 1. Hasil penjualan komputer di toko Planet Computer pada periode Januari –Juli 2019 ditunjukkan pada tabel di bawah ini.Tabel 1. Hasil penjualan komputer periode Januari –Juli 2019BulanJanFebMarAprMeiJuniJuliJumlah (Unit)10153035254560Mari Mengingat Kembali
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Data tersebut dapat ditunjukkan dalam diagram garis (tunggal) seperti pada gambar di bawah ini.Grafik Garis Berganda (Multiple Line Chart)Grafik yang terdiri dari beberapa garis untuk menggambarkan perkembangan beberapa hal atau kejadian sekaligus. Contoh 2. Hasil penjualan Barang A dan B di toko “Melati” periode Januari sampai Juni 2019 ditunjukkan pada Tabel di bawah ini.TahunJanFebMarAprMeiJuniJenis Barang A254045105045Jenis Barang B101535254060Data tersebut dapat ditunjukkan dalam diagram garis berganda seperti pada gambar di bawah ini.Jumlah PenjualanBulanHasil penjualan komputer periode Januari –Juli 2019010203040506070JanFebMarAprilMeiJuniBanyak PenjualanBulanHasil penjualan Barang A dan B di toko Melati tahun 2019
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN122.Diagram LingkaranDiagram lingkaran adalah bentuk penyajian data dengan menggunakan sektor-sektor (juring-juring) dalam suatu lingkaran. Diagram ini sangat baik untuk menunjukkan perbandingan antara objek yang satu dengan objek lainnya terhadap keseluruhan dalam suatu penyelidikan.Contoh 3. Data berikut ini menunjukkan banyaknya peminat kegiatan ekstra kurikuler siswa kelas XII di SMA Merdeka. Kegiatan Olah raga ada 90 orang, PMR ada 60 orang, dan Paskibra ada 50 orang. Sebelum membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besar persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besar sudut pusat sektor lingkaran yang sesuai sebagaimana ditunjukkan pada tabel di bawah ini. Jenis KegiatanJumlahPersentaseBesar Sudut PusatOlah RagaPMRPaskibra90605090200×100%=45%60200×100%=30%50200×100%=25%90200×360𝑜=162𝑜60200×360𝑜=108𝑜50200×360𝑜=90𝑜200Diperoleh diagram lingkaran3.Diagram BatangDiagram batang adalah penyajian data dengan menggunakan persegi panjang-persegi panjang dengan arah vertikal atau horizontal. Tinggi setiap persegi panjang (batang) sesuai dengan jumlah data masing-masing objek. Contoh 4. Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di Kota A menurut tingkat sekolah pada tahun 2019Tingkat SekolahJumlah SiswaSDSMPSMASTM1.5621.019818432Olah Raga; 90; 45%PMR; 60; 30%Paskibra; 50; 25%kegiatan ekstra kurikuler siswa kelas XII di SMA Merdeka
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Data tersebut ditunjukkan dengan diagram batang seperti pada gambar berikut.Tiga jenis diagram di atas paling sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Selain penyajian data dengan diagram di atas, juga ada diagram lainnya seperti diagram batang daun (Steam and Leaf Plot), diagram kotak garis, diagram pencar, dan piktogram.Diagram-diagram di atas umumnya digunakanuntuk menyajikan data yang variasi jenis datanya sedikit atau jumlah datanya sedikit. Bagaimana kalau variasi jenis datanya sudah banyak atau data yang diolah dalam jumlah besar? Nah, untuk keperluan penyajian data yang jumlahnya besar, maka pada bagian ini kalian akan mempelajari cara menyajikan dalam tabel distribusi frekuensi dan memvisualisasikan ke dalam bentuk grafik histogram, poligon frekuensi, dan ogive.4.Tabel Distribusi Frekuensi Jika ukuran data cukup besar (n > 30), maka sebaiknya data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi.Tabel distribusi frekuensi dibedakan menjadi dua, yaitu tabel distribusi frekuensi tunggal dan tabel distribusi frekuensi berkelompok.Contoh 5. Berikut ini data berat badan 40 siswa SD Merdeka (dalam kg)3235 37 33 34 33 32 36 37 35 37 36 35 32 32 34 34 36 35 3334 34 33 36 37 36 37 35 36 3632 33 37 36 36 33 34 37 32 34Tabel distribusi frekuensi tunggal dari data tersebut sebagai berikut.Berat Badan (kg)Turus (Tally)Banyak Anak (frekuensi)323334353637| | | | || | | | || | | | | || | | | | | | | | | | || | | | | |667597Jumlah40020040060080010001200140016001800SDSMPSMASTMJumlah SiswaTingkat SekolahBanyak siswa di kota A tahun 2019
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Untuk data yang sangat besar, sebaiknya menggunakan tabel distribusi frekuensi berkelompok. Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi berkelompok adalah :a.Tentukan jangkaun data ( J), yaitu datum terbesar dikurangi datum terkecil.J = X maks–X minb.Tentukan banyak kelas interval (k) dengan aturan H.A. Sturges, dengan rumus :k = 1 + 3,3 log nk = bilangan bulat, dan n= banyaknya data.c.Tentukan panjang kelas interval (p) dengan rumus : 𝑝=𝑗𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑢𝑎𝑛(𝐽)𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠(𝑘)d.Tentukan batas kelas interval (batas bawah dan batas atas). Batas bawah kelas pertama dapat diambil sama dengan nilai datum terkecil atau nilai yang lebih kecil dari datum terkecil.e.Tentukan frekuensi dari setiap kelas interval dengan terlebih dahulu menentukan turusnya.Contoh 6. Hasil nilai tes matematika 30 siswa kelas XI IPA SMA sebagai berikut :60 61 3062 43 55 67 68 69 3941 63 67 50 76 57 65 49 54 8840 71 70 51 56 54 78 54 72 69Sajikan dalam tabel distribusi frekuensi.Jawab:•Dari kumpulan data di atas, datum terbesar adalah 88, dan yang terkecil adalah 30, sehingga diperoleh jangkauan data ( J) = 88 –30 = 58.•Banyak kelas interval ( k) = 1 + 3,3 log 30 = 1 + 3,3 (1,477)= 1 + 4,874 = 5,874 6•Panjang kelas interval ( p) = 𝐽𝑘=586= 9,67 10 •Batas bawah kelas yang pertama, disini batas bawah kelas pertama adalah datum terkecil (tetapi tidak harus, dapat juga digunakan bilangan lain). Misalnya batas bawah kelas interval pertama digunakan datum terkecil = 30, sehingga batas atas kelas interval pertama = (30 + p) –1 = (30 + 10) –1 = 39 (10 adalah panjang kelas).Diperoleh tabel distribusi frekuensi berikut.Nilai Tes MatematikaTurusFrekuensi30 –3940 –4950 –5960 –6970 –7980 –89| || | | || | | | | | || | | | | | | | | | | | | 2481051Jumlah30
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15Berikut ini beberapa istilah sehubungan dengan tabel distribusi frekuensi untuk data berkelompok.•Batas bawah kelas dan batas atas kelasUntuk kelas 30 –39, batas bawah adalah 30 dan batas atas adalah 39.•Tepi bawah kelas dan tepi atas kelasUntuk kelas 30 –39, tepi bawah kelasnya adalah (30 –0,5) = 29,5 dan tepi atas kelasnya (39 + 0,5) = 39,5.Tepi bawah diperoleh dari batas bawah kelas dikurangi setengah satuan pengukuran terkecil yangdigunakan, sedangkan tepi atas kelas diperoleh dari batas atas kelas ditambah setengah satuan pengukuran terkecil.•Panjang interval kelasUntuk kelas 30 –39, panjang interval kelas adalah (tepi atas –tepi bawah) = 39,5 –29,5 = 10.•Titik tengah kelastitik tengah kelas interval (mid point) yaitu rataan antara batas bawah dan batas atas kelas interval. Untuk kelas 30 –39, titik tengah kelas adalah 30+392= 34,5.5.Histogram dan Poligon FrekuensiSetelah mengelompokkan data ke dalam beberapa kelas menjadi tabel distribusi frekuensi, kita dapat menyajikan data berkelompok tersebut dalam bentuk grafik. Penyajian data dalam bentuk grafik ini bertujuan untuk menyampaikan data kepada pembaca dalam bentuk gambar. Bagi kebanyakan orang, melihat informasi yang disajikan dari gambar lebih mudah daripada melihat dari dari kumpulan bilangan-bilangan pada tabel atau distribusi frekuensi. Ada tiga macam grafik yang biasanya digunakan untuk menyajikan atau mempresentasikan data berkelompok, yaitu:a.Histogramb.Poligon frekuensic.Ogive/ grafik frekuensi kumulatif.Histogramadalah penyajian distribusi frekuensi menggunakan diagram batang tegak. Pada histogram, antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarak, berbeda dengan penyajian diagram batang terdahulu. Sumbu datar pada histogram menyatakan kelas-kelas interval, sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi. Dalam hal ini, batas kelas interval merupakan tepi bawah dan tepi atas. Tepi bawah = batas bawah –0,5 Tepi atas = batas atas + 0,5 ( 0,5 jika nilai datanya teliti hingga satuan)Jika setiap titik tengah sisi atas persegi panjang yang berdampingan dihubungkan dengan suatu garis, maka terbentuk grafik yang disebut poligon frekuensi. Contoh 7. Gambar histogram dan poligon frekuensi dari tabel distribusi frekuensi dari contoh 6 di atas.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16Jawab:Nilai Tes MatematikaTepi KelasTitik TengahFrekuensi30 –3940 –4950 –5960 –6970 –7980 –8929,5 –39,539,5 –49,5 49,5 –59,5 59,5 –69,569,5 –79,579,5 –89,534,544,554,564,574,584,52481051HistogramPoligon Frekuensi6.Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif dan OgiveTabel distribusi frekuensi kumulatif diperoleh dari tabel distribusi frekuensi biasa, dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi.Tabel distribusi frekuensi kumulatif ada 2 macam, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang daridan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, digunakan tepi atas kelas. Sedangkan untuk distribusi frekuensi kumulatif lebih dari, digunakan tepi bawah kelas. 1029,539,549,559,569,579,589,52148105Nilaif24681201034,544,554,564,574,584,5Nilaif2468120Titik Tengah KelasTepi bawah kelas
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17Contoh 8. Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif untuk data pada contoh 6 di atas. Nilai Tes MatematikaFrekuensi30 –3940 –4950 –5960 –6970 –7980 –89248105130Jawab:Tabel distribusi frekuensi Tabel distribusi frekuensikumulatif kurang darikumulatif lebih dariNilaiFrekuensi kumulatifNilaiFrekuensi kumulatif39,549,559,569,579,589,522 + 4 = 66 + 8 = 1414 +10 = 2424 + 5 = 2929 + 1 = 3029,539,549,559,569,579,528 + 2 = 3024 + 4 = 2816 + 8 = 246 + 10 = 161 + 5 = 61Dari tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari, kita dapat menggambarkan ogive kurang dari atauogive positifdan ogive lebih dari atauogive negatif. (Ogiveadalah grafik distribusi frekuensi kumulatif, berupa kurva yang menghubungkan titik-titik yang membentuk poligon frekuensi kumulatif kurang dari atau lebih dari)Contoh 9.Gambarkan ogive positif dan ogive negatif dari tabel distribusi frekuensi kumulatif pada contoh 8 di atas.Jawab: Ogive positif, diperoleh dari tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari.2539,549,559,569,579,589,5Nilaif51015203002614242930
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18Ogive negatif, diperoleh dari tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.Coba kalian perhatikan perbedaannya! Ogive positif kurvanya selalu naik, sedangkan ogive negatif kurvanya selalu turun. C.Rangkuman•Penyajian data yang baik dan benar bermanfaat untuk memberi gambaran yang sistematis tentang peristiwa-peristiwa yang merupakan hasil penelitian atau observasi, data lebih cepat dimengerti, memudahkan dalam membuat analisis data, dan pengambilan keputusan atau kesimpulan lebih tepat, cepat, dan akurat.•Tabel distribusi frekuensi adalah bentuk penyajian data dengan cara membagi data menjadi beberapa kelompok dan disajikan dalam suatu tabel yang terdiri dari kelas interval dan frekuensi.•Histogram adalah penyajian distribusi frekuensi menggunakan diagram batang tegak, dimana di antara dua batang yang berdampingan tidak terdapat jarak. Sumbu datar pada histogram menyatakan kelas-kelas interval, sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi.•Poligon frekuensi adalah grafik yang diperoleh dengan cara menghubungkan setiap titik tengah sisi atas persegi panjang yang berdampinganpada histogram dengan suatu garis.•Tabel distribusi frekuensi kumulatif diperoleh dari tabel distribusi frekuensi biasa dengan cara menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi kumulatif ada 2 macam, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.•Ogive adalah grafik distribusi frekuensi kumulatif, berupa kurva yang menghubungkan titik-titik yang membentuk poligon frekuensi kumulatif kurang dari (ogive positif) atau lebih dari (ogive negatif).2529,539,549,559,569,579,5Nilaif51015203001616242830
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19D.Latihan Soal 1.Berikut ini diberikan empat distribusi frekuensi. Setiap distribusi frekuensi yang diberikan terdapat kesalahan dalam penyusunannya. Sebutkan kesalahan masing distribusi frekuensi dan alasannya.a.KelasFrekuensic.KelasFrekuensi27 –3233 –3839 –4445 –4950 –5510642123 –127128 –132138 –142143 –14737219b.KelasFrekuensid.KelasFrekuensi5 –99 –1313 –1717 –2020 –24125639 –1314 –1920 –2526 –2829 –32162592.Distribusi frekuensi yang diberikan berikut mempresentasikan jumlah kendaraan roda empat terpilih dalam suatu kota yang menghabiskan bahan bakar bensin dalam jumlah tertentu (liter) setiap minggunya. Kolom kelas menyatakan jumlah bahan bakar bensin yang dihabiskan dalam 1 minggu sedangkan kolom frekuensi adalah banyaknya kendaraan roda empat.Kelas IntervalTepi KelasFrekuensi5 –89 –1213 –1617 –2021 –2425 –284,5 –8,58,5 –12,512,5 –16,516,5 –20,520,5 –24,524,5 –28,5587152116Jawablah pertanyaan berikut ini.a.Berapa banyak kendaraan roda 4 yang menghabiskan bensin kurang dari 4,5 liter?b.Berapa banyak kendaraan roda 4 yang menghabiskan bensin kurang dari 8,5 liter?c.Lanjutkan untuk mencari banyak kendaraan yang kurang dari batas bawah kelas kemudian tuliskan pada tabel di bawah ini.Frekuensi KumulatifKurang dari 4,5Kurang dari 8,5Kurang dari 12,5Kurang dari 16,5Kurang dari 20,5Kurang dari 24,5Kurang dari 28,53.Data berikut adalah data jumlah pengunjung perpustakaan SMA Merdeka dalam 40 hari kerja berturut-turut.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2050 65 60 71 5582 76 70 80 6478 95 88 90 81 75 78 78 70 6885 67 74 86 59 63 84 66 75 8794 96 72 78 65 81 85 95 88 96Berdasarkan data tersebut, buatlaha.Tabel distribusi frekuensi dengan 7 kelasb.Histogram, poligon frekuensi, dan ogive kurang dari (ogive positif).4.Daftar penjualan harian (dalam persen) selama 50 hari suatu produk makanan adalah sebagai berikut.6047829588977064707072676668985878894455907786586485828372779574728874728650949277399063688091757678Berdasarkan data di atas, buatlaha.Tabel distribusi frekuensi.b.Histogram, poligon frekuensi, dan ogive lebih dari (ogive negatif).5.Misalkan Anda adalah seorang pengusaha real estate di kota Masamba. Anda memperoleh daftar harga rumah yang sudah Anda jual dalam 6 bulan terakhir. Anda ingin mengorganisasi data yang Anda terima agar Anda dapat memberikan informasi yang akurat kepada calon pembeli. Gunakan data berikut ini untuk disajikan dalam histogram, poligon frekuensi, dan ogive. Data berikut dalam puluhan ribu rupiah.142.000 127.000 99.600 89.000 93.000 99.500 162.00073.800 135.000 119.000 67.900 156.300 104.500 108.650123.000 91.000 205.000 110.000 156.300 104.000 133.900179.000 112.000 147.000 321.550 87.900 88.400 180.000159.400 205.300 144.400 163.000 96.000 81.000 131.000114.000 119.600 93.000 123.000 187.000 96.000 80.000231.0189.500 177.600 83.400 77.000 132.300 166.000a.Pertanyaan-pertanyaan apa yang yang dapat dijawab dengan mudah dengan melihat histogram dibandingkan dengan daftar harga yang diberikan di atas?b.Pertanyaan berbeda apa yang dapat dijawab dengan lebih mudah dengan melihat poligon frekuensi dibandingkan dengan daftar harga tersebut?a.Pertanyaan berbeda apa yang dapat dijawab dengan lebih mudah dengan melihat ogive dibandingkan dengan daftar harga tersebut?b.Apakah ada data yang sangat besar atau sangat kecil dibandingkan dengan nilai lainnya? c.Grafik mana yang menampilkan nilai ekstrim tersebut dengan lebih baik?
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21PEMBAHASAN LATIHAN SOAL KEGIATAN PEMBELAJARAN 11.Alternatif Jawabana.Panjang kelas distribusi frekuensi (a) adalah 6, sedangkan yang keempat 45 –49 panjangnya adalah 5. Panjang setiap kelas dalam suatu distribusi frekuensi harus sama.b.Kelas-kelas pada distribusi frekuensi (b) mempunyai batas yang saling beririsan. Hal ini dihindari agar tidak ada data yang sama masuk ke dalam dua kelas yang berbeda.c.Terdapat kelas yang hilang pada distribusi frekuensi (c) yaitu kelas 133 –137. Jika memang tidak ada data yang terletak pada selang ini maka sebaiknya kelas ini tetap dituliskan dengan frekuensi 0 (nol).d.Kelas pada distribusi frekuensi (d) mempunyai panjang kelas yang berbeda-beda. Kelas yang pertama mempunyai panjang kelas 5 sedangkan kelas kedua mempunyai panjang kelas 6.2.Alternatif Jawabana.Tidak ada kendaraan roda empat yang menghabiskan bensin kurang dari 4,5 liter dalam seminggu.b.Terdapat 5 kendaraan roda empat yang menghabiskan bensin kurang dari 8,5 liter dalam seminggu.c.Lengkapi tabelFrekuensi KumulatifKurang dari 4,5Kurang dari 8,5Kurang dari 12,5Kurang dari 16,5Kurang dari 20,5Kurang dari 24,5Kurang dari 28,50513203556723.Alternatif Jawabana.Distribusi frekuensi dengan 7 kelasKelasFrekuensi50 –5657 –6364 –7071 –7778 –84 85 –91 92 –98 2386975
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22b. Histogram PoligonOgive positifDistribusi frekuensi kurang dari Jumlah pengunjungFrekuensi kumulatif (fk )<56,5<63,5<70,5<77,5<84,5<91,5<98,52513192835401049,556,563,570,577,584,591,5253869798,5Jumlah pengunjungf2468010536067748188952538697Jumlah pengunjungf246802549,556,563,570,577,584,591,524051913283598,50Jumlah Pengunjung f51015200303540
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN234.Alternatif Jawabana.Tabel distribusi frekuensiKelasFrekuensi39 –4748 –5657 –65 66 –7475 –83 84 –92 93 –101 3261311105b.HistogramPoligon FrekuensiOgive NegatifDistribusi kumulatif lebih dariPersen PenjualanFrekuensi kumulatif (fk )38,55047,54756,54565,53974,52683,51592,551538,547,556,565,574,583,592,53526131110101,5Persen Penjualanf36912015435261707988973526131110Persen Penjualanf369120
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN245.Alternatif Jawabana.Salah satu pertanyaan yang bisa diajukan adalah “Ada berapa rumah yang dijual dalam kisaran Rp1.000.000.000,00 –Rp2.000.000.000,00?”b.Dengan melihat poligon frekuensi, pertanyaan “Berapa kisaran harga rumah yang paling banyak diminati oleh para pembeli?”c.Dengan melihat ogive, pertanyaan yang bisadiajukan adalah “Berapa banyak rumah yang dengan harga di bawah Rp1.500.000.000,00?”d.Terdapat data dengan nilai paling kecil dibandingkan dengan data lainnya yaitu Rp679.000.000,00 dan data yang nilainya paling besar adalah Rp3.215.500,00.e.Dengan melihat ketiga grafik, grafik poligon frekuensi menampilkan fitur nilai ekstrim (minimum dan maksimum) lebih baik dari kedua grafik lainnya.3038,547,556,565,574,583,592,55501539264547101,5Persen Penjualan f102004050
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Anda tahu kegunaan penyajian data dalam bentuk tabel atau diagram?2Apakah Anda tahu cara menyajikan data dalam tabel distribusi data berkelompok?3Apakah Anda tahu cara menyajikan data dalam grafik histogram?4Apakah Anda tahu perbedaan histogram dan diagram batang?5Apakah Anda tahu cara menyajikan data dalam grafik poligon frekuensi?6Apakah Anda tahu cara membuat tabel distribusi frekuensi kumulatif?7Apakah Anda tahu cara menyajikan data dalam grafik ogive positif atau negatif?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26KEGIATAN PEMBELAJARAN 2UKURAN PEMUSATAN DATAA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 2 ini diharapkan kalian dapat menentukan ukuran pemusatan data berupa mean, modus dan median, menganalisis ukuran pemusatan data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram serta menggunakannnya untuk menyelesaikan masalah.B.Uraian MateriDalam pembicaraan sehari-hari kita sering mendengar teman kita atau orang lain mengatakan kalimat-kalimat pernyataan seperti:•“Rata-rata orang yang bekerja di perusahaan itu datang jam 7 pagi”•“Eh, Jangan salah, rata-rata orang yang datang di pestaku waktu itu orang kaya lho!”.•”rata-rata orang menonton sinetron pada jam 8 sesudah makan malam”.Pertanyaan kemudian adalah apakah memang benar yang dimaksud “rata-rata” pada kalimat-kalimat itu menunjukkan arti “rata-rata” yang dimaksud dalam ilmu statistika?. Bukankah “rata-rata” dalam kalimat itu bisa diganti dengan kata “kebanyakan”?. Kata “kebanyakan” yang dalam ketiga pernyataan tersebut dikatakan “rata-rata” diartikan sebagai “modus” yang dalam statistika merupakan data yang paling sering muncul.Pernyataan-pernyataan di atas walaupun tidak menggunakan istilah yang benar dalam statistika, namun sudah sangat familiar dituturkan oleh masyarakat. Hal ini menunjukkan bahwa ukuranpemusatan data sangat banyak aplikasinya dalam kehidupan nyata kita sehari-hari.Pernahkah kalian menyaksikan secara langsung proses penghitungan suara dalam suatu pesta demokrasi, misalnya pemilihan kepala desa, pemilihan Bupati dan Wakil Bupati, pemilihan Gubernur dan Wakil Gubernur, pemilihan anggota DPR/DPD, atau pemilhan Presiden? Panitia membuka surat suara, mengamati, dan mencatat pilihan rakyat yang tertera pada surat suara. Gambar 1. Petugas KPPS melakukan penghitungan suara Pemilu 2019Sumber: https://www.jawapos.com/jpg-today/11/03/2019Setiap surat suara menghasilkan satu data perhitungan. Nama calon yang paling sering muncul menjadi pemenang kontestasi. Suara yang paling sering muncul dalam hal ini adalah salah aplikasi modus dalam kehidupannyata.Apakah “Rata-rata” artinya sama dengan “Kebanyakan” ya?
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27Ukuran pemusatan dari sekumpulan data merupakan suatu nilai yang diperoleh dari sekumpulan data yang dapat dipergunakan untuk mewakili kumpulan data tersebut. Suatu kumpulan data biasanya mempunyai kecenderungan untuk terkonsentrasi pada suatu nilai pemusatan. Pada kegiatan pembelajaran 2 ini, kalian akan mempelajari ukuran pemusatan data yaitu rata-rata hitung (mean), modus, dan median dari data berkelompok yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.1.Rata-rata (Mean) Data BerkelompokRata-rata (mean) data berkelompok dapat ditentukan dengan 3 cara, yaitu: a.Cara rumus umum rata-rata hitung : 𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=𝑓1.𝑥1+𝑓2.𝑥2+𝑓3.𝑥3+⋯+𝑓𝑛.𝑥𝑛𝑓1+𝑓2+𝑓3+⋯+𝑓𝑛Keterangan : xi= nilai tengah kelas ke –ifi= frekuensi kelas ke –ib.Cara Simpangan Rataan (Rataan Sementara): 𝑥=𝑥𝑠+∑𝑓𝑖.𝑑𝑖∑𝑓𝑖Keterangan : 𝑥𝑠=rataan sementara (nilai tengah kelas dengan frekuensi terbesar) fi= frekuensi kelas ke –idi= selisih setiap nilai tengah dengan rataan sementara ( 𝑑𝑖=𝑥𝑖−𝑥𝑠)c.Cara Pengkodean (Cara coding): 𝑥=𝑥𝑠+𝑝.∑𝑓𝑖.𝑢𝑖∑𝑓𝑖Keterangan : 𝑥𝑠= rataan sementara (nilai tengah kelas dengan frekuensi terbesar) fi= frekuensi kelas ke –ip= panjang kelas Ui= kode, dengan ketentuan : Ui= 0 untuk kelas 𝑥𝑠, kode bulat negatif berurutan (–1, –2, –3, ...) untuk kelas-kelas sebelum 𝑥𝑠, dan kode bulat positif berurutan (+1, +2, +3, ...) untuk kelas-kelas sesudah 𝑥𝑠.Contoh 1.Tabel berikut memperlihatkan berat badan 50 orang siswa SMA Merdeka. Tentukan rata-rata hitungnya dengan menggunakan:a. rumus umum meanb. rataan sementarac. metode pengkodeanBerat Badan (kg)f31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –65469141052
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28Jawab:a. Rataan dengan rumus umum meanBerat Badanfixifi . xi31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –6546914105233384348535863132228387672530290126Jumlah50-2.365Nilai xidiperoleh dari nilai tengah setiap interval kelas. Misalnya pada baris pertama, nilai x1= ½(31 + 35) = ½(66) = 33. Demikian pula nilai xiyang lain.Nilai rata-rata hitung (mean) adalah:𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=2.36550=𝟒𝟕,𝟑Jadi, rata-rata (mean) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,3 kg.b. Rataan dengan menggunakan rataan sementaraBerat Badanfixidi= xi−𝑥𝑠fi. di(1)(2)(3)(4)(5)31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –654691410523338434853586333 –48 = –1538 –48 = –1043 –48 = –548 –48 = 053 –48 = 558 –48 = 1063 –48 = 15–60–60–450505030Jumlah50--–35Keterangan:•Kolom (3), pilih rataan sementara 𝑥𝑠, yaitu nilai xidengan frekuensi terbesar, sehingga diperoleh 𝑥𝑠=𝟒𝟖.•Kolom (4), isikan dengan selisih dari kolom(3) dengan 48 atau xi–48.•Kolom (5), isikan dengan hasil kali kolom (2) dengan kolom (4).Nilai rata-rata hitung (mean) adalah:𝑥=𝑥𝑠+∑𝑓𝑖.𝑑𝑖∑𝑓𝑖=48 + −3550=48−0,7=𝟒𝟕,𝟑Jadi, rata-rata (mean) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,3 kg.c. Rataan dengan menggunakan cara pengkodeanKeterangan:•Kolom (3), pilih rataan sementara 𝑥𝑠=𝟒𝟖(kelas dengan frekuensi terbesar).
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29•Kolom (4), isi kode 0 pada kelas 𝑥𝑠, bilangan negatif berurutan (−1, −2, −3) pada baris sebelumnya dan bilangan positif berurutan (1, 2, 3) pada baris setelahnya.•Panjang kelas, p= 5.Berat BadanfixiUifi. Ui(1)(2)(3)(4)(5)31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –6546914105233384348535863–3–2–10123–12–12–9010106Jumlah50--–7Nilai rata-rata hitung (mean) adalah:𝑥=𝑥𝑠+𝑝.∑𝑓𝑖.𝑢𝑖∑𝑓𝑖=48+5.(−750)=48+(−0,7)=𝟒𝟕,𝟑Jadi, rata-rata (mean) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,3 kg.2.Modus Data BerkelompokModus adalah ukuran pemusatan data yang digunakan untuk menyatakan kejadian yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Modus data berkelompok ditentukan dengan rumus: 𝑀𝑜=𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)Keterangan : L= Tepi bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi terbesar)p= panjang kelas intervald1= selisih antara frekuensi kelas modus dan frekuensi tepat satu kelas sebelum kelas modusd2= selisih antara frekuensi kelas modus dan frekuensi tepat satu kelas sesudah kelas modusContoh 2.Tentukan modus data berat badan 50 orang siswa SMA Merdekapada tabel berikutJawab:Letak Modus pada kelas interval: 46 –50 Tepi bawah kelas modus L= 46 –0,5 = 45,5Panjang kelas interval P= 5d1= 14 –9 = 5 d2= 14 –10 = 4sehingga diperoleh modus adalahBerat Badanfi31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –65469141052
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30𝑀𝑜=𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=45,5+ 5.(55 + 4)=45,5+ 259= 45,5 + 2,78 = 48,28Jadi, modus berat badan siswa SMA Merdeka adalah 48,28 kg.3.Median Data BerkelompokMedian adalah ukuran yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Median data berkelompok ditentukan dengan rumus: 𝑀𝑒=𝐿+𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)dimana median terletak pada datum ke 𝑛2Keterangan: L= Tepi bawah kelas medianp= panjang kelas intervalF= frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas medianfm= frekuensi kelas mediann= banyak datumContoh 3. Tentukan median data berat badan 50 orang siswa SMA Merdekapada tabel berikut.Jawab:Letak Median pada datum ke 𝑛2= 502= 25jadi, letak median pada interval kelas 46 –50 (dilihat dari frekuensi kumulatif = 33, berarti terletak data ke-20 sampai ke-33)L= 46 –0,5 = 45,5(tepi bawah kelas median)p= 5 (panjang kelas)F= 19 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)fm= 14 (frekuensi kelas median) Sehingga diperoleh median adalah 𝑀𝑒=𝐿+ 𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)=45,5+5.(25 −1914)=45,5+5.(614)=45,5+3014= 45,5 + 2,14 = 47,64Jadi, median berat badan siswa SMA Merdeka adalah 47,63 kg.Contoh 4.Data hasil ulangan matematika 40 siswa kelas XII SMA Merdeka disajikan pada histogram berikut. Hitunglah:a.Meanb.Modusc.MedianBerat BadanfiF 31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –654691410524101933434850Jumlah50-
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Jawab:a.MeanUntuk menentukan nilai mean, kita perlu membuat tabel distribusi frekuensi dari histogram di atas, kemudian kita akan menggunakan metode pengkodean untuk menghitung nilai mean sebagai berikut.Tepi KelasfixiUifi. Ui60,5 –65,5 65,5 –70,570,5 –75,575,5 –80,5 80,5 –85,585,5 –90,5 26101282½(60,5 + 65,5) = 63½(65,5 + 70,5) = 68½(70,5 + 75,5) = 73½(75,5 + 80,5) = 78½(80,5 + 85,5) = 83½(85,5 + 90,5) = 87–3–2–1012–6–12–10084Jumlah40--–16Nilai tengah xidapat ditentukan dari titik tengah setiap tepi kelas. Rataan sementara 𝑥𝑠=𝟕𝟖diambil dari kelas dengan frekuensi terbesar.Panjang kelas pdiperoleh dari selisih dua tepi kelas, misalnya diambil kelas yang pertama, maka p= 65,5 –60,5 = 5Sehingga, diperoleh rata-rata hitung (mean) adalah:𝑥=𝑥𝑠+𝑝.∑𝑓𝑖.𝑢𝑖∑𝑓𝑖=78+5.(−1640)=78+5(−0,4)=78−2=𝟕𝟔Jadi, rata-rata nilai ulangan matematika 40 siswa tersebut adalah 76.b.ModusDi atas kita telah membuat tabel distribusi frekuensi, namun untuk contoh ini kita akan menentukan modus dari data pada histogram agar kalian mengetahui cara menentukan modus langsung dari histogram. •Kelas dengan frekuensi terbesar1060,565,570,575,580,585,590,522610128Nilaif246812d1= 12 –10 = 2d2= 12 –8 = 4
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32diperoleh tepi bawah kelas modus L= 75,5•d1= 12 –10 = 2 dan d2= 12 –8 = 4•Panjang kelas interval adalah selisih dari dua tepi kelas, p= 65,5 –60,5 = 5.sehingga diperoleh modus adalah𝑀𝑜=𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=75,5+ 5(22 + 4)=75,5+ 106= 75,5 + 1,67 = 77,17Jadi, modus nilai ulangan matematika 40 siswa tersebut adalah 77,17.c.MedianMedian juga dapat secara langsung dihitung dari data histogram seperti berikut ini.Pertama, kita harus menentukan frekuensi kumulatif untuk setiap kelas interval, yaitu dengan menjumlahkan frekuensi kelas dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya, seperti ditunjukkan di bagian atas frekuensi setiap kelas pada histogram.Letak Median pada datum ke 𝑛2= 402= 20jadi, letak median pada interval kelas dengan tepi 75,5 –80,5 (dilihat dari frekuensi kumulatif = 30, berarti terletak data ke-19 sampai ke-30)L= 75,5 (tepi bawah kelas median)p= 5 F= 18 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)fm= 12 (frekuensi kelas median) Sehingga diperoleh median adalah 𝑀𝑒=𝐿+ 𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)=75,5+5(20 −1812)=75,5+5(212)=75,5+1012= 75,5 + 0,83 = 76,33Jadi, median nilai ulangan matematika 40 siswa tersebut adalah 76,33.2818303840frekuensi kumulatiffmFLetak data ke 19 sampai data ke 30Tepi bawah kelas median
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN334.Kuartil dan Desil untuk Data Berkelompok (**)Selain ukuran pemusatan data, juga ada ukuran letak data yang didasarkan pada letak ukuran tersebut dalam suatu distribusi data. Ukuran letak data membagi sekumpulan data yang berurutan menjadi beberapa bagian yang sama, diantaranya kuartil, desil, dan persentil. Pada bagian ini kita hanya menambahkan pembahasan tentang kuartil dan desil.KuartilJika kumpulan data terurut dibagi menjadi 4 bagian yang sama, maka didapat 3 pembagian dan tiap pembagian itu dinamakan kuartil. Gambarannya sebagai berikut.Kuartil tengah (Q2) sama saja dengan Median yang telah dibahas di atas.Kuartil data berkelompok ditentukan dengan rumus: 𝑄𝑖=𝐿𝑖+𝑝(𝑖4𝑛−𝐹𝑖𝑓𝑖)dimana Qiadalah pada datum ke 𝑖.𝑛4, untuk i = 1, 2, 3.Keterangan : Li= Tepi bawah kelas kuartil ke -ip= panjang kelas intervalFi= frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas kuartil ke -ifi= frekuensi kelas kuartil ke -in= banyak datumContoh 5.Tentukan Q1dan Q3data berat badan 50 orang siswa SMA Merdekapada tabel berikut.Jawab:Langkah awal kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif (F).Letak Q1pada datum ke 14𝑛= 14(50)= 12,5Jadi, letak Q1pada interval kelas : 41 –45 (Frekuensi kumulatif 19, berarti letak data ke-11 sampai ke-19)L1= 41 –0,5 = 40,5p= 5, F= 10 dan f = 9Berat BadanfiF31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –654691410524101933434850Jumlah50-Data diurutkan25%50%75%Kuartil bawah Q1Kuartil tengah Q2Kuartil atasQ3
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN34Sehingga diperoleh Kuartil bawah (Q1) adalah 𝑄1= 𝐿1+𝑝(14𝑛−𝐹𝑓)=40,5 + 5(14(50)−109)= 40,5 + 5(12,5−109)=40,5 + 5(2,59)=40,5 + 12,59= 40,5 + 1,39 = 41,89Jadi, nilai kuartil bawah (Q1) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 41,89 kg.Letak Q3pada datum ke 34𝑛= 34(50)= 37,5Jadi, letak Q3pada interval kelas : 51 –55 (Frekuensi kumulatif 43, berarti letak data ke-34 sampai ke-43)L3= 51 –0,5 = 50,5p= 5, F= 33, dan f= 10 sehingga diperoleh kuartil atas (Q3) adalah 𝑄3= 𝐿3+𝑝(34𝑛−𝐹𝑓)=50,5 + 5(34(50)−3310)=50,5 + 5(37,5−3310)= 50,5 + 5(4,510)=50,5 + 22,510= 50,5 + 2,25 = 52,75Jadi, nilai kuartil atas (Q3) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 52,75 kg.DesilJika kumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat 9 pembagian dan tiap pembagian itu dinamakan desil. Desil data berkelompok ditentukan dengan rumus : 𝐷𝑖=𝐿𝑖+𝑝(𝑖10𝑛−𝐹𝑖𝑓𝑖)dimana Diadalah pada datum ke 𝑖.𝑛10Keterangan : Li= Tepi bawah kelas Desil ke -ip= panjang kelas intervalFi= frekuensi kumulatif tepat sebelum kelas Desil ke -ifi= frekuensi kelas Desil ke -in= banyak datumi = 1, 2, 3, ..., 9.Contoh 6.Tentukan D3dan D8data berat badan 50 orang siswa SMA Merdekapada tabel berikut.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35Jawab:Langkah awal sama halnya pada kuartil, kita tambahkan kolom Frekuensi Kumulatif (F).Letak D3pada datum ke 𝑖10𝑛= 310(50)= 15Jadi, letak D3pada interval kelas : 41 –45 (Frekuensi kumulatif 19, berarti letak data ke-11 sampai ke-19)L3 = 41 –0,5 = 40,5p= 5, F= 10, dan f = 9 sehingga diperoleh Desil ke-3 (D3) adalah𝐷3= 𝐿3+𝑝(310𝑛−𝐹𝑓)=40,5 + 5(310(50)−109)=40,5 + 5(15−109)=40,5 + 259=40,5+2,78𝟒𝟑,𝟐𝟖Jadi, desil ketiga (D3) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 43,28 kg.Letak D8pada datum ke 𝑖10𝑛= 810(50)= 40Jadi, letak D8 pada interval kelas : 51 –55 (Frekuensi kumulatif 43, berarti letak data ke-34 sampai ke-43) L8 = 51 –0,5 = 50,5 ,p= 5, F= 33, dan f = 10 sehingga diperoleh Desil ke-8 (D8) adalah 𝐷8= 𝐿8+ 𝑝(810𝑛−𝐹𝑓)=50,5 + 5(810(50)−3310)= 50,5 + 5(40−3310)=50,5 + 3510=50,5+3,5=𝟓𝟒Jadi, desil kedelapan (D8) berat badan siswa SMA Merdeka adalah 54 kg.C.Rangkuman•Ukuran pemusatan dari sekumpulan data merupakan suatu nilai yang diperoleh dari sekumpulan data yang dapat dipergunakan untuk mewakili kumpulan data tersebut, meliputi mean, modus, dan median.•Mean atau rata-rata hitung adalah jumlah semua data dibagi banyaknya data. Mean data berkelompok dapat dihitung dengan 3 cara, yaitu:Rumus umum mean: 𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=𝑓1.𝑥1+𝑓2.𝑥2+𝑓3.𝑥3+⋯+𝑓𝑛.𝑥𝑛𝑓1+𝑓2+𝑓3+⋯+𝑓𝑛Berat BadanfiF31 –3536 –4041 –4546 –5051 –5556 –6061 –654691410524101933434850Jumlah50-
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36Cara Simpangan Rataan (Rataan Sementara):𝑥=𝑥𝑠+∑𝑓𝑖.𝑑𝑖∑𝑓𝑖Cara Pengkodean:𝑥=𝑥𝑠+𝑝.∑𝑓𝑖.𝑢𝑖∑𝑓𝑖•Modus adalah ukuran pemusatan data yang digunakan untuk menyatakan kejadian yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Modus data berkelompok ditentukan dengan rumus:𝑀𝑜=𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)•Medianadalah ukuran yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Median data berkelompok ditentukan dengan rumus:𝑀𝑒=𝐿+𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)•Kuartil adalah ukuran yang membagi sekumpulan data terurut dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Kuartil data berkelompok ditentukan dengan rumus:𝑄𝑖=𝐿𝑖+𝑝(𝑖4𝑛−𝐹𝑖𝑓𝑖)•Desil adalah ukuran yang membagi sekumpulan data terurut dibagi menjadi 10 bagian yang sama. Desil data berkelompok ditentukan dengan rumus:𝐷𝑖=𝐿𝑖+𝑝(𝑖10𝑛−𝐹𝑖𝑓𝑖)D.Latihan Soal1.Berikut merupakan data jumlah protein yang terkandung dalam beberapa macam makanan cepat saji yang terpilih.23 30 20 27 44 26 35 20 29 2925 15 18 27 19 22 12 26 34 1527 35 26 43 35 14 24 12 23 3140 35 38 57 22 42 24 21 27 33a.Hitunglah rata-rata, median, dan modus dari data tersebut.b.Buatlahdistribusi frekuensi data tersebut dengan 5 kelas.b.Hitung rata-rata, median, dan modus dari data yang sudah dikelompokkan pada poin (b)c.Bandingkan ukuran pemusatan pada poin (a) dan (c). Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai hasil tersebut?2.Berikut merupakan distribusi frekuensi persentase penduduk usia di bawah 25 tahun yang menyelesaikan studi sarjananya selama 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia. Tentukan ukuran pemusatan data berkelompok tersebut.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN37PersentaseFrekuensi15,2 –19,619,7 –24,124,2 –28,628,7 –33,133,2 –37,637,7 –42,142,2 –46,63151967013.Jelaskan ukuran pemusatan apa yang digunakan (rata-rata, median, modus) untuk situasi di bawah ini.a.Setengah dari jumlah pekerja di suatu pabrik dapat memperoleh lebih dari Rp20.000,00 per jam dan setengahnya yang lain memperoleh kurang dari Rp20.000,00 per jam.b.Rata-rata jumlah anak dalam suatu keluarga di suatu kompleks perumahan adalah 1,8.c.Sebagian besar orang lebih memilih mobil warna hitam dibandingkan dengan warna-warna lainnya. d.Ketakutan yang paling umum terjadi saat ini adalah ketakutan berbicara di depan umum.e.Rata-rata usia dosen perguruan tinggi adalah 42,3 tahun4.Diberikan distribusi frekuensi untuk jumlah komisi (dalam puluhan ribu) yang diterima 100 salesman yang dipekerjakan di beberapa cabang perusahaan besar. Tentukan rata-rata, median, dan modus untuk distribusi frekuensi ini.PersentaseFrekuensi150 –158159 –167168 –176177 –185186 –194195 –203204 –2125162021201535.Pengelola restoran cepat saji di suatu kota besar menyatakan bahwa ratarata gaji karyawannya adalah Rp18.000,00 per jam. Seorang karyawannya menyatakan bahwa kebanyakan karyawan di restoran tersebut menerima gaji minimal. Jika kedua orang tersebut jujur atas pernyataannya, jelaskan bagaimana ini bisa terjadi.6.Berikut ini histogram dari data berat badan (kg) beberapa orang siswa. Tentukan nilai modus data tersebut.30,535,540,545,550,555,560,5228963f
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN387.Tentukan nilai median dari data yang disajikan dalam histogram berikut.8.Data berat badan 30 siswa disajikan dalam ogive berikut. Hitung modus data tersebut.10,515,520,525,530,535,561216106ukuranf29,534,539,544,549,554,531218302359,527Berat badan (kg)fk
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39PEMBAHASAN LATIHAN SOAL KEGIATAN PEMBELAJARAN 21.Alternatif Jawabana. Rata-rata data tunggal𝑥̅=𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑑𝑎𝑡𝑎𝑛=1.10540=27,625Median data tunggal = 26,5 dan modusnya adalah 27b.Distribusi frekuensi dengan 5 kelasKelasFrekuensi10 –1920 –2930 –3940 –4950 –59 719941c.Menggunakan distribusi frekuensi di atas dapat ditentukan:Rata-rata (mean)𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=1.11040=27,75Median𝑀𝑒=𝐿+𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)=19,5+10(20−719)=19,5+10(0,684)=26,34Modus𝑀𝑜= 𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=19,5+10(1212+10)=19,5+10(0,545)=24,95d. Ukuran pemusatan yang dihitung dari distribusi frekuensi hasilnya berbeda dengan ukuran pemusatan yang dihitung dari dari mentah atau data yang belum dikelompokkan. Walaupun hasilnya berbeda, tetapi ukuran pemusatan data kelompok mendekati ukuran pemusatan data tunggal.2.Alternatif JawabanRata-rata𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=1.359,951=26,66Rata-rata persentase mahasiswa yang menyelesaikan studi selama 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia adalah sebesar 26,66%.Median𝑀𝑒=𝐿+𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)=24,15+4,5(25,5−1819)=24,15+4,5(0,3947)=25,93Nilai tengah persentase mahasiswa yang menyelesaikan studi selama 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia adalah sebesar 25,93%.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40Modus𝑀𝑜= 𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=24,15+4,5(44+13)=24,15+1817=25,21Kebanyakan persentase mahasiswa yang menyelesaikan studi selama 4 tahun atau lebih di beberapa kota besar di Indonesia adalah sebesar 25,21%.3.Alternatif Jawabana.Median (nilai tengah)b.Rata-ratac.Modusd.Moduse.Rata-rata4.Alternatif JawabanRata-rata𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=18.028100=180,28Rata-rata salesman mendapatkan komisi sebesar Rp 1.802.800,00.Median𝑀𝑒=𝐿+𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)=176,5+9(50−4121)=176,5+8121=180,357Komisi tingkat menengah yang diterima salesmen adalah Rp1.803.570,00.Modus𝑀𝑜= 𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=176,5+9(11+1)=176,5+92=181Sebagian besar salesmen mendapatkan komisi sebesar Rp1.810.000,005.Alternatif JawabanUkuran pemusatan data seperti rata-rata, median, dan modus mempunyai nilai yang hampir sama. Sehingga jika rata-rata karyawan mempunyai gaji Rp18.000,00 perjam sekaligus kebanyakan (modus) karyawan mempunyai gaji yang minimal, maka dapat disimpulkan bahwa gaji Rp18.000,00 per jam merupakan gaji yang minimal. Dengan kata lain, kebanyakan karyawan mendapatkan gaji minimal dengan besaran sekitar Rp18.000.00 6.Alternatif JawabanTepi kelas dengan frekuensi terbesar adalah 40,5 –45,5 diperoleh tepi bawah kelas modus L= 40,5d1= 9 –8 = 1 dan d2= 9 –6 = 3Panjang kelas interval adalah selisih dari dua tepi kelas, p= 45,5 –40,5 = 5.sehingga diperoleh modus adalah𝑀𝑜=𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=40,5+ 5(11 + 3)=40,5+ 54= 40,5 + 1,25 = 41,75
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN41Jadi, modus berat badan 30 siswa tersebut adalah 41,75.7.Alternatif JawabanLetak Median pada datum ke 𝑛2= 502= 25jadi, letak median pada interval kelas dengan tepi 20,5 –25,5 (dilihat dari frekuensi kumulatif = 34, berarti terletak data ke-19 sampai ke-34)L= 20,5 (tepi bawah kelas median)p= 5 F= 18 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)fm= 16 (frekuensi kelas median) Sehingga diperoleh median adalah 𝑀𝑒=𝐿+ 𝑝(𝑛2−𝐹𝑓𝑚)=20,5+5(25 −1816)=20,5+5(716)=20,5+3512= 20,5 + 2,19 = 22,69 Jadi, median dari data tersebut adalah 22,69.8.Alternatif JawabanTepi kelas dengan frekuensi terbesar adalah 34,5 –39,5 diperoleh tepi bawah kelas modus L= 34,5d1= 9 –3 = 6 dan d2= 9 –6 = 3Panjang kelas interval adalah selisih dari dua tepi kelas, p= 34,5 –29,5 = 5.sehingga diperoleh modus adalah𝑀𝑜=𝐿+𝑝(𝑑1𝑑1+𝑑2)=34,5+ 5(66 + 3)=34,5+ 103= 34,5 + 3,33 = 37,85Jadi, modus berat badan 30 siswa tersebut adalah 37,85.3965kelas dengan frekuensi terbesard1d243
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Anda tahu yang dimaksud ukuran pemusatan data?2Apakah Anda dapat menentukan mean data dalam tabel distribusi frekuensi?3Apakah Anda dapat menentukan mean data dalam grafik histogram?4Apakah Anda dapat menentukan modus data dalam tabel distribusi frekuensi?5Apakah Anda dapat menentukan modus data dalam grafik histogram?6Apakah Anda dapat menentukan median data dalam tabel distribusi frekuensi?7Apakah Anda dapat menentukan median data dalam grarik histogram?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN43KEGIATAN PEMBELAJARAN 3UKURAN PENYEBARAN DATAA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 3 ini diharapkan kalian dapat menentukan ukuran penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram, menganalisis ukuran penyebaran data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram serta menggunakannnya untuk menyelesaikan masalah.B.Uraian MateriMengetahui hanya rata-rata dari suatu data tidak cukup untuk mendeskripsikan data sepenuhnya. Kita juga perlu mengetahui bagaimana penyebaran data. Sebagai contoh, seorang penjual sepatu olah raga di suatu daerah telah mengetahui bahwa rata-rata ukuran sepatu olah raga yang laris adalah ukuran 40. Penjual sepatu tersebut tidak akan bertahan lama dalam penjualan sepatu olah raga ini jika dia hanya menjual sepatu ukuran 40. Walaupun dia mengetahui rata-rata ukuran sepatu pembeli di daerah tersebut, dia jugaperlu mengetahui bagaiamana data menyebar, yaitu apakah datanya mendekati rata-rata ataukah menyebar merata. Ukuran yang menentukan penyebaran data disebut dengan ukuran penyebaran data (dispersi). Gambar 1. Toko sepatu olah ragaSumber: images.google.comUkuran penyebaran dataadalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.Pada kegiatan pembelajaran ini, kalian akan mempelajari ukuran penyebaran data berkelompok yang meliputi simpangan rata-rata, simpangan baku (standar deviasi), dan ragam (varians).1.Simpangan Rata –RataSimpangan rata-rata sekumpulan data adalah rata-rata dari selisih mutlak nilai semua data terhadap rata-ratanya.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN44Simpangan rata-rata (mean deviation) dari data x1, x2, x3, ..., xndirumuskan dengan: 𝑆𝑅=∑|𝑥𝑖−𝑥̅|𝑛𝑖=1𝑛Keterangan : SR= simpangan rata-ratan= banyak datumxi= datum ke –i𝑥̄= rata-rata hitung (mean)Contoh 1.Hitung simpangan rata-rata dari kumpulan data 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9.Jawab:Pertama, kita akan menghitung rata-rata (mean) dari data tersebut.𝑥̅=4+5+5+6+6+7+7+8+9+910=6610=6,6Berikutnya kita akan menghitung simpangan rata-rata dengan rumus di atas.𝑆𝑅=∑|𝑥𝑖−𝑥̅|𝑛𝑖=1𝑛=|4−6,6|+2|5−6,6|+2|6−6,6|+2|7−6,6|+|8−6,6|+2|9−6,6|10=2,6+2(1,6)+2(0,6)+2(0,4)+(1,4)+2(2,4)10=2,6+3,2+1,2+0,8+1,4+2,810=1410=𝟏,𝟒Untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi, simpangan rata-rata ditentukan dengan rumus :𝑆𝑅=∑𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥̅|𝑛𝑖=1∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1Keterangan : SR= simpangan rata-ratafi= frekuensi kelas ke-ixi= nilai tengah kelas ke –i𝑥̄= rata-rata hitung (mean)Contoh 2.Tentukan simpangan rata-rata data pada tabel distribusi frekuensi di bawah ini.kelas intervalfi40 –44 45 –49 50 –5455 –5960 –6421012106
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN45Jawab:Untuk memudahkan menyelesaikan soal ini, kita perlu menambahkan 4 kolom pada tabel distribusi frekuensi tersebut, kemudian melengkapi isian pada setiap kolom tersebut seperti pada tabel berikut.kelas intervalfixifi. xi| xi−𝑥̄|fi .| xi−𝑥̄|(1)(2)(3)(4)(5)(6)40 –44 45 –49 50 –5455 –5960 –6421012106424752576284460624560372|42 –52,5| = 10,5|47 –52,5| =5,5|52 –52,5| =0,5|57 –52,5| =4,5|62 –52,5| =9,5215564557Jumlah40-2.100-184Keterangan pengisian kolom pada tabel:•Kolom (3) atau kolom xidiisi dengan nilai tengah dari kelas interval kolom (1), misalnya pada baris 1, xi= ½(40 + 44) = ½(84) = 42. •Kolom (4) diisi dengan hasil perkalian dari nilai pada kolom (2) dan (3).•Kolom (5) diisi dengan nilai mutlak selisih nilai pada kolom (3) dengan rata-rata.•Kolom (6) diisi dengan hasil perkalian kolom (2) dan (5)Rata-rata (mean) dari data pada tabel di atas adalah𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=2.10040=𝟓𝟐,𝟓Simpangan rata-rata data pada tabel di atas adalah 𝑆𝑅=∑𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥̅|∑𝑓𝑖=18440=𝟒,𝟔3. Ragam dan Simpangan Baku Ragam(varians) adalah ukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan/data tersebar. Ragam dari kumpulan data x1, x2, x3, ..., xndidefinisikan sebagai rata-rata dari kuadrat simpangan terhadap rata-rata (mean), dinotasikan dengan S2.𝑆2=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑛Keterangan : S2= ragam (varians)n= banyak datumxi= datum ke –i𝑥̄= rata-rata hitung (mean)Akar kuadrat dari ragam disebut Simpangan Baku (Standard Deviation), yang dirumuskan : 𝑆=√𝑆2=√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑛
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN46Contoh 3.Hitung ragam dan simpangan baku dari kumpulan data 6, 8, 7, 9, 10.Jawab:Pertama, kita akan menghitung rata-rata (mean) dari data tersebut.𝑥̅=6+8+7+9+105=405=8Berikutnya kita akan menghitung ragam dengan rumus di atas.𝑆2=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1𝑛=(6−8)2+(8−8)2+(7−8)2+(9−8)2+(10−8)25=4+0+1+1+45=105=𝟐simpangan bakunya adalah 𝑆=√𝑆2=√2Untuk data berkelompok yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi, ragam ditentukan dengan rumus : 𝑆2= ∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2𝑛𝑖=1∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1Keterangan : S2= ragamfi= frekuensi kelas ke-ixi= nilai tengah kelas ke –i𝑥̄= rata-rata hitung (mean)dan Simpangan Bakunya ditentukan dengan rumus: 𝑆=√𝑆2= √∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2𝑛𝑖=1∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1Ada beberapa cara lain (rumus) yang dapat digunakan untuk menghitung nilai ragam dan simpangan baku data berkelompok, yaitu: •Rumus praktis𝑠2=𝑥2−(𝑥̄)2dan 𝑠=√𝑥2−(𝑥̄)2dengan𝑥̄=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖dan 𝑥2=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖2∑𝑓𝑖•Rumus praktis dengan rataan sementaraTentukan dahulu rataan sementara (𝑥̄𝑠), yaitu nilai tengah ( xi ) kelas yang memiliki frekuensi terbesar, kemudian tentukan ragam dan simpangan baku dengan rumus:
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47𝑠2=𝑑2−(𝑑̄)2dan 𝑠=√𝑑2−(𝑑̄)2, dengan 𝑑𝑖=𝑥𝑖−𝑥̄𝑠dan 𝑑𝑖2=(𝑥𝑖−𝑥̄𝑠)2𝑑̄=∑𝑓𝑖.𝑑𝑖𝑛dan 𝑑2=∑𝑓𝑖.𝑑𝑖2𝑛•Rumus praktis denganpengkodeanTentukan dahulu rataan sementara (𝑥̄𝑠), kemudian beri kode kelas xi= 𝑥̄𝑠dengan Ui= 0. Untuk kelas-kelas sebelum kelas 𝑥̄𝑠diberi kode secara berurutan Ui= −1, −2, −3, ..., dan untuk kelas-kelas setelah kelas 𝑥̄𝑠diberi kode secara berurutan Ui= +1, +2, +3, ....Kemudian hitung simpangan baku dengan rumus pengkodean: 𝑠=𝑝.√𝑢2−(𝑢̄)2, dengan p= panjang kelas, dimana 𝑢̄=∑𝑓𝑖.𝑈𝑖𝑛dan 𝑢2=∑𝑓𝑖.𝑈𝑖2𝑛Contoh 4.Tentukan ragam dan simpangan baku data dalam tabel distribusi frekuensi di bawah ini.Kelas Intervalfi40 –44 45 –49 50 –5455 –5960 –6421012106Jawab:Kelas Intervalfixifi. xi(xi−x)2fi .(xi−x)2(1)(2)(3)(4)(5)(6)40 –44 45 –49 50 –5455 –5960 –6421012106424752576284460624570372(42 –53)2= 121(47 –53)2= 36(52 –53)2= 1(57 –53)2= 16(62 –53)2= 8124236012160486Jumlah40-2.120-1.260Keterangan pengisian kolom pada tabel:•Kolom (3) atau kolom xidiisi dengan nilai tengah dari kelas interval kolom (1), misalnya pada baris 1, xi= ½(40 + 44) = ½(84) = 42. •Kolom (4) diisi dengan hasil perkalian dari nilai pada kolom (2) dan (3).•Kolom (5) diisi dengan kuadrat selisih nilai pada kolom (3) dengan rata-rata.•Kolom (6) diisi dengan hasil perkalian kolom (2) dan (5)Rata-rata (mean) dari data pada tabel di atas adalah𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=2.12040=𝟓𝟑
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN48Ragam data pada tabel di atas adalah 𝑆2= ∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2∑𝑓𝑖=1.26040=𝟑𝟏,𝟓Simpangan baku adalah 𝑆=√𝑆2=√31,5=𝟓,𝟔𝟏Contoh 5.Hitunglah simpangan baku data pada contoh 4 dengan menggunakan metode pengkodean.Jawab:Kelas IntervalfixiKode Uifi. Uifi. Ui2(1)(2)(3)(4)(5)(6)40 –44 45 –49 50 –5455 –5960 –64210121064247525762–2 –1012–4–10010122 (–2)2= 810 (–1)2= 1012 (0)2= 010 (1)2= 106 (2)2= 24Jumlah40-852Keterangan pengisian kolom pada tabel:•Kolom (3) atau kolom xidiisi dengan nilai tengah dari kelas interval kolom (1), kemudian pilih rataan sementara 𝑥̄𝑠= 52, karena mempunyai frekuensi terbesar.•Kolom (4) kode Ui, pengisian dimulai dari baris 𝑥̄𝑠= 52 yang diberi kode 0, dan baris-baris sebelumnya diberi kode −1, −2, kemudian baris-baris setelahnya diberi kode +1, +2.•Kolom (5) diisi dengan hasil kali nilai di kolom (2) dan (4).•Kolom (6) diisi dengan hasil kali nilai di kolom (2) dan kuadrat nilai di kolom (4).Panjang kelas p = 5Hitung nilai 𝑢̄dan 𝑢2sebagai berikut. 𝑢=∑𝑓𝑖.𝑈𝑖𝑛=840=0,2𝑢2=∑𝑓𝑖.𝑈𝑖2𝑛=5240=1,3Jadi, simpangan baku data di atas adalah𝑆=𝑝.√𝑢2−(𝑢̄)2=5.√1,3−(0,2)2=5.√1,3−0,04=5.√1,26=5(1,12)=𝟓,𝟔
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN49Contoh 6.Nilai ulangan matematika di suatu kelas disajikan pada histogram berikut.Tentukan nilai dari:a.simpangan rata-ratab.ragamc.simpangan bakuJawab:Untuk memudahkan perhitungan, data dari histogram kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut.xififi. xi| xi−𝑥̄|fi .| xi−𝑥̄|(xi−x)2fi .(xi−x)2(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)6267727782561512231040210809241641050510503006020100250251005001500300200Jumlah402.880-160-1.150Keterangan pengisian kolom pada tabel:•Kolom (1) atau kolom xidiisi dengan nilai tengah dari tepi kelas interval pada histogram. Misalnya untuk baris pertama x1= ½(59,5 + 64,5) = 62, dan seterusnya. •Kolom (2) diisi denggan frekuensi setiap kelas, yaitu nilai yang terdapat pada bagian atas setiap persegi panjang dihistogram.•Kolom (3) diisi dengan hasil kali kolom (1) dan (2)•Kolom (4) diisi dengan nilai mutlak dari selisih nilai pada kolom (1) dengan rata-rata.•Kolom (5) diisi dengan hasil kali kolom (2) dan (4)•Kolom (6) diisi dengan kuadrat selisih nilai kolom (1) dengan rata-rata, atau bisa dengan mengambil kuadrat dari kolom (4).•Kolom (7) diisi dengan hasil kali kolom (2) dengan kolom (6).Rata-rata (mean) dari data pada tabel di atas adalah𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=2.88040=𝟕𝟐a.Simpangan rata-rata data padatabel di atas adalah 𝑆𝑅=∑𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥̅|∑𝑓𝑖=16040=𝟒b.Ragam data pada tabel di atas adalah 𝑆2= ∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2∑𝑓𝑖=1.15040=𝟐𝟖,𝟕𝟓c.Simpangan baku adalah 𝑆=√𝑆2=√28,75=𝟓,𝟑𝟔64,569,574,579,559,584,5515105615122Nilaif
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN50C.Rangkuman•Ukuran penyebaran data adalah suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya.•Simpangan rata-rata adalah adalah rata-rata dari selisih mutlak nilai semua data terhadap rata-ratanya. Simpangan rata-rata untuk data berkelompok dirumuskan dengan:𝑆𝑅=∑𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥̅|𝑛𝑖=1∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1•Ragam (varians) adalahukuran seberapa jauh sebuah kumpulan bilangan tersebar. Ragam didefinisikan sebagai rata-rata dari kuadrat simpangan terhadap rata-rata (mean). Ragam data berkelompok dirumuskan dengan:𝑆2= ∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2𝑛𝑖=1∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1•Simpangan baku adalah akar kuadrat dari ragam (varians). Simpangan baku dirumuskan dengan:𝑆=√𝑆2= √∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2𝑛𝑖=1∑𝑓𝑖𝑛𝑖=1D.Latihan Soal1.Diberikan angka-angka : x –4, x –2, x +1, x +2, x +4, x +5. Tentukan.a. nilai simpangan bakub. nilai x jika nilai mean dari angka-angka di atas adalah 6.2.Diketahui angka-angka 4, 1, 13, 7, 8, 4, p, q, yang memiliki mean 6 dan ragam 12,5. Tentukan nilai p dan q.3.Tentukan simpangan rata-rata data pada tabel distribusi frekuensi di bawah ini.Kelas Intervalfi21 –2526 –3031 –3536 –4041 –45 46 –50 289632Jumlah304.Tentukan ragam dan simpangan baku data pada tabel distribusi frekuensi soal nomor 3.5.Data berikut merupakan data berat badan 50 orang siswa. Tentukan ragam dan simpangan baku dengan cara pengkodean.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN51Berat Badan (kg)fi35 –39 40 –4445 –4950 –54 55 –5960 –64 14122373Jumlah506.Data pada histogram di bawah ini menunjukkan banyaknya penggunaan air bersih (m3) dalam sebulan dari 50 rumah tangga di RT.I Kelurahan Merdeka. Tentukan simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku pemakaian air bersih di RT.I tersebut.1015155516 -20fM37101321 -2531 -3526 -3036 -40
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN52PEMBAHASAN LATIHAN SOAL KEGIATAN PEMBELAJARAN 31.Diberikan angka-angka : x –4, x –2, x + 1, x +2, x +4, x+5. Tentukan.a.nilai simpangan baku𝑥̅=(𝑥−4)+(𝑥−2)+(𝑥+1)+(𝑥+2)+(𝑥+4)+(𝑥+5)6=6𝑥+66=𝑥+1Simpangan baku 𝑆=√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛=√(−5)2+(−3)2+(0)2+(1)2+(3)2+(4)26=√25+9+0+1+9+166=√606=√10=3,16b.nilai x jika nilai mean dari angka-angka di atas adalah 6.𝑥̅=𝑥+1=6𝑥=6−1=52.Diketahui angka-angka 4, 1, 13, 7, 8, 4, p, q, yang memiliki mean 6 dan ragam 12,5. Tentukan nilai p dan q.Alternatif Penyelesaian:Rata-rata (mean) = 6, berarti𝑥̅=4+1+13+7+8+4+𝑝+𝑞8=637 + p+ q= 48p+ q = 48 –37 = 11 p+ q = 1 atau q= 11 –p..........(1)Ragam = 12,5, sehingga:𝑆2=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛12,5=(−2)2+(−5)2+(7)2+(1)2+(2)2+(−2)2+(𝑝−6)2+(𝑞−6)2812,5=4+25+49+1+4+4+(𝑝−6)2+(𝑞−6)28100 = 87 + (p–6)2+ (q–6)213 = (p–6)2+ (11 –p –6)213 = (p–6)2+ (5 –p)213 = p2–12p+ 36 + 25 –10p+ p22p2–22p+ 48 = 0 p2–11p+ 24 = 0(p–3)(p–8) = 0p= 3 atau p= 8.Untuk p= 3, maka q= 11 –p= 11 –3 = 8.Untuk p= 8, maka q= 11 –p= 11 –8 = 3.Jadi, nilai p= 3 dan q= 8 atau sebaliknya.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN533.Simpangan rata-rata data pada tabel distribusi frekuensi di bawah ini.Alternatif Penyelesaiankelas intervalfixifi. xi| xi−𝑥̄|fi .| xi−𝑥̄|21 –2526 –3031 –3536 –4041 –45 46 –5028963223283338434846224297228129961161491422489242728Jumlah30-1020-158Rata-rata (mean) dari data pada tabel di atas adalah𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=102030=𝟑𝟒Simpangan rata-rata data pada tabel di atas adalah 𝑆𝑅=∑𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥̅|∑𝑓𝑖=15830≈𝟓,𝟐𝟕4.Tentukan ragam dan simpangan baku data pada tabel distribusi frekuensi soal nomor 3.Alternatif Penyelesaiankelas intervalfixifi. xi(xi−𝑥̄)2fi .(xi−𝑥̄)221 –2526 –3031 –3536 –4041 –45 46 –5028963223283338434846224297228129961213611681196242288996243392Jumlah30-1020-1270Rata-rata (mean) dari data pada tabel di atas adalah𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=102030=𝟑𝟒Ragam data pada tabel di atas adalah 𝑆2= ∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2∑𝑓𝑖=1.27030=𝟒𝟐,𝟑𝟑Simpangan baku adalah 𝑆=√𝑆2=√42,33≈𝟔,𝟓𝟏5.Data berikut merupakan data berat badan 50 orang siswa. Tentukan ragam dan simpangan baku dengan cara pengkodean.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN54Kelas IntervalfixiKode Uifi. Uifi. Ui235 –39 40 –4445 –4950 –54 55 –5960 –6414122373374247525762–3–2 –1012–3–8–120761 (–3)2= 94 (–2)2= 1612 (–1)2= 1223 (0)2= 07 (1)2= 73(2)2= 12Jumlah50--–1056Panjang kelas p = 5Hitung nilai 𝑢̄dan 𝑢2sebagai berikut. 𝑢=∑𝑓𝑖.𝑈𝑖𝑛=−1050=−0,2𝑢2=∑𝑓𝑖.𝑈𝑖2𝑛=5650=1,12Jadi, simpangan baku data di atas adalah𝑆=𝑝.√𝑢2−(𝑢̄)2=5.√1,12−(−0,2)2=5.√1,12−0,04=5.√1,08≈5(1,04)=𝟓,𝟐6.HistogramAlternatif PenyelesaianUntuk memudahkan perhitungan, data dari histogram kita sajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berikut.xififi. xi| xi−𝑥̄|fi .| xi−𝑥̄|(xi−x)2fi .(xi−x)2𝑥̄=26,41823283338101315751802994202311908,43,41,66,611,68444,22446,25870,5611,562,5643,56134,56705,6150,2838,4304,92672,8Jumlah501.320-256,4-1.872
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN55Rata-rata (mean) dari data pada tabel di atas adalah𝑥̅=∑𝑓𝑖.𝑥𝑖∑𝑓𝑖=1.32050=𝟐𝟔,𝟒Simpangan rata-rata data pada tabel di atas adalah 𝑆𝑅=∑𝑓𝑖.|𝑥𝑖−𝑥̅|∑𝑓𝑖=256,450=𝟓,𝟏𝟐𝟖Ragam data pada tabel di atas adalah 𝑆2= ∑𝑓𝑖.(𝑥𝑖−𝑥̄)2∑𝑓𝑖=1.87250=𝟑𝟕,𝟒𝟒Simpangan baku adalah 𝑆=√𝑆2=√37,44≈𝟔,𝟏𝟐
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN56E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang kalian ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Anda tahu yang dimaksud ukuran penyebaran data?2Apakah Anda dapat menentukan simpangan rata-rata data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi?3Apakah Anda dapat menentukan ragam data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi?4Apakah Anda dapat menentukan simpangan baku data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi?5Apakah Anda dapat menentukan simpangan rata-rata data yang disajikan dalam histogram?6Apakah Anda dapat menentukan ragam data yang disajikan dalam histogram?7Apakah Anda dapat menentukan simpangan baku data yang disajikan dalam histogram?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN57EVALUASI1.Perhatikan diagram berikut!Modus dari data pada diagram adalah ....A. 25,5B.26,0C. 26,5D. 27,0E. 27,52.Diketahui data: 7, 6, 2, p, 3, 4. Jika rata-rata dari data tersebut sama dengan mediannya, maka banyaknya nilai pyang mungking untuk pbilangan asli adalah ....A.1B.2C.3D.4E.53.Ragam (varians) dari data pada tabel berikut adalah ....A. 138B.118C.1D.78E.584.Tinggi badan siswa di kelas XII SMA Merdeka tampak pada tabel berikut. Rata-rata tinggi badan siswa tersebut adalah ....A. 158 –1,25B.158 –1,125 C.158D.158 + 1,125E.158 + 1,20DataFrekuensi141 –145 1146 –150 4151 –1555156 –160 15161 –165 7166 –1706171 –175 2DataFrekuensi5164768491
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN585.Data ulangan Matematika suatu kelas disajikan dalam histogram berikut.Median dari data tersebut adalah ....A. 54,5B.55,0C. 55,5D. 56,0E. 56,56.Data berat badan 30 siswa disajikan pada tabel berikut. Simpangan baku data tersebut adalah ....A. √21kgB.√29kgC.21 kgD. 23 kgE.29 kg7.Data berat badan dari 40 siswa TK “Kasih Ibu” disajikan dalam bentuk histogram di samping. Modus pada histogram tersebut adalah ....A. 35,0 kgB.36,0 kgC. 36,5 kgD. 37,0 kgE. 37,5 kgBerat badan (kg)Frekuensi43 –4748 –52 53 –5758 –62 51294
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN598.Kuartil bawah dari tabel distribusi frekuensi berikut adalah ....A. 55,25B.55,50C.55,75D.56,25E.56,509.Median dari data yang disajikan pada histogram berikut adalah ....A. 77,53B.78,00C. 78,61D. 79,00E. 79,6110.Kuartil atas dari data pada tabel adalah....A. 71,5B.72,0C.72,5D.73,0E.73,511.Varians (ragam) dari data 8, 8, 6, 6, 8, 12 adalah ....A.8B.6C.2√6D.4E.212.Simpangan rata-rata dari data 4, 7, 5, 6, 8, 6 adalah ....A.0,2B.0,8C.1,0D.1,2E.1,4SkorFrekuensi30 –39 140 –49 450 –59 860 –69 1470 –79 1080 –89 3NilaiFrekuensi56 –60 561 –65866 –70 1471 –751076 –80 3
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6013.Data hasil penimbangan berat badan (dalam kg) dari 60 orang ibu pada suatu desa disajikan dalam tabel distribusi di bawah ini.Rata-rata berat badan 60 orang ibu tersebut adalah ....A.69,25B.70,16C.70,17D.70,33E.72,2514.Tabel berikut menyajikan data berat badan (kg) sejumlah siswa.Desil ke-8 dari data tersebut adalah ....A.62,325B.62,750C.63,500D.63,625E.64,12515.Perhatikan tabel berikut.Simpangan rata-rata data tersebut adalah ....A.4,53B.5,27C.5,53D.6,27E.6,5316.Daftar distribusi frekuensi berikut menyatakan hasil dari suatu ujian.Siswa yang lulus adalah siswa yang mendapat nilai lebih dari 64,5. Banyak siswa yang lulus adalah ⋯ orang.A. 23B.25C.27D.28E.29Berat badan (kg)Frekuensi56 –6061 –6566 –70 71 –75 76 –80 81 –85 83182164Berat badan (kg)Frekuensi41 –4546 –5051 –5556 –60 61 –65 66 -7085101287Berat badan (kg)Frekuensi21 –2526 –3031 –3536 –40 41 –45 46 –50289632SkorFrekuensi40 –4950 –59 60 –69 70 –79 80 –89 2814124
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6117.Perhatikan tabel berikut.Siswa yang dinyatakan lulus jika nilai ujiannya lebih besar dari 60. Jika banyaknya peserta ujian ada 30 orang dan yang lulus 16 orang, maka nilai dari x,y= ....A. 18B.20C.24D.25E.3018.Perhatikan data pada tabel berikut.Modus dari data tersebut adalah ....A. 51,12B.55,17C.55,72D.56,17E.56,6719.Daftar distribusi frekuensi pada tabel berikut merupakan hasil dari suatu tes.Jika 60% siswa dinyatakan lulus, maka nilai terendah yang dinyatakan lulus adalah ....A. 45,0B.48,5C.50,5D.51,0E.55,520.Nilai rata-rata dari data pada tabel adalah ....A. 61B.62C.63D.64E.65Nilai UjianFrekuensi11 –20 21 –30 31 –40 41 –50 51 –6061 –7071 –8081 –9091 -10037101620141064SkorFrekuensi21 –3031 –40 41 –5051 –60 61 –7071 –8081 –90 11x9y62NilaiFrekuensi40 –4445 –4950 –54 55 –5960 –64 65 –69 70 –74 75 -7912367579SkorFrekuensi40 –4445 –49 50 –54 55 –59 60 –64 3411157
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN62KUNCI JAWABAN EVALUASI1.A2.A3.C4.D5.E6.A7.C8.C9.C10.B11.D12.C13.C14.D15.B16.A17.C18.D19.D20.E
Modul Matematika Kelas XII KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN63DAFTAR PUSTAKAAbdur Rahman As’ari, dkk. 2018. Matematika SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII. Jakarta: Kemendikbud.Pradnyo Wijayanti, Sapon Suryopurnomo. 2018. Kombinatorika, Peluang, dan Statistika. Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Guru Matematika SMA. Yogyakarta: PPPPTK Matematika.Sukino. 2019. Matematika SMA/MA Kelas XII IA (IPA). Sidoarjo: PT. Masmedia Buasa Pustaka.